подобная проблема была на моём престарелом кассетнике Aiwa (ему уже 12 лет! И он всё ещё в строю!). на самом шлейфе я ни чего паять не стал.. т.к. он гибкий и либо от пайки потерял бы гибкость, либо в месте пайки механически опять что-то поломалось бы. Я взял тонкие провода от дешёвых или мёртвых наушников, вынул из них нужные мне тонкие внутренние проводки, они армированы капроновой ниткой и окрашены изолирующим лаком, отрезал куски нужной мне длинны, залудил и припаял в концах шлейфа проложив параллельно самом шлейфу.. хотя тут с одной стороны шлейф вставляется в разъём и я не помню доступно ли место пайки шлейфа на стороне экрана - это может усложнить жизнь, возможно паять всё таки придётся на самом шлейфе.

А про мощность паяльника. Тут не совсем корректно может быть, по-моему. В данном случае важна не мощность, а удобство работы данным паяльником с тонкой пайкой и температура жала. Теоретически всё это можно проделать и паяльником на 45 Вт, но из за веса и толщины жала это будет не удобно, либо придётся точить жало, либо использовать провод, как предлагали выше. А температура должна быть чуть выше температуры плавления используемого припоя. 18-25 Вт - адекватно, по-моему )

Просто руки должны быть хорошие. Я например разкалееным 60-ватным пояльником такие вещи делаю, что не смогут сделать многие обладатели крутых паяльных станций...
Акуратно берете скальпель и стираете защитное покрытие щлейфа... Готово! Далее берете канифольный спирт и мажете им очищенную дорожку с одной и другой стороны от разрыва.
Далее берете очень тонкую медную жилку и тоже наносите канифольный спирт.
Облуживаем оловом и проводик и жилку. Все это надо делать верными точными движениями. (иначе от различия теплопроводимости слоев шлейфа он разойдется по слоям)
Далее припаиваем к шлейфу облуженный тонюсенький проводок, соединяя разрыв.
далее покрываем шлей прозрачным клеем моментом тонким слоем(для изоляции)
Все.

И опыта в таких делах... А то тупо спалит к чертям все и на этом complete...